Analisi

  • Materia: Analisi
  • Visto: 10726
  • Data: 2005
  • Di: Redazione StudentVille.it

La Teoria delle Serie

Spiegazione della teoria delle serie.

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Il concetto di serie può, in un certo senso, essere considerato una estensione di quello di polinomio, quando il numero dei termini che compongono l'espressione tende all'infinito (Nei tempi andati, infatti, la serie è stata anche indicata con il termine infinitonomio). Si può anche vedere la serie come la somma degli infiniti termini di una successione. Una serie è dunque un'espressione del tipo

S=U1+U2+U3+U4+...

dove il termine generico Uk è dato in base ad una qualche regola e k è un indice intero. Si potrebbe credere che la somma di infiniti termini dia sempre un risultato infinito, cosa ovviamente possibile, ma non sempre è così. La serie in cui gli Uk sono tutti uguali ed uguali ad un numero fissato, per esempio Uk=1, dà un risultato infinito, come è facile immaginare

S=1+1+1+1+... tende all'infinito

così come la serie dei numeri naturali, in cui Uk = k, con k appartenente ad N. Esistono tuttavia serie che danno un risultato finito e calcolabile, ovviamente sotto certe condizioni. Tali serie vengono dette convergenti e solo in tal caso ha senso parlare di somma della serie. Negli altri casi la serie si dice divergente. Un esempio di serie convergente è:

S=1+1/2+1/4+1/8+...(1/2)^k+...

la serie converge e la sua somma è pari a 2, come dimostreremo in seguito. Si tratta di un esempio di una serie ben conosciuta e molto importante, la serie geometrica. In essa il termine generico Uk è una potenza e la serie converge sotto certe condizioni; q è detta ragione della serie,

Uk=q^k; S=1+q+q^2+q^3+...

Un esempio importante di serie divergente è invece la serie armonica:

Uk=1/k; S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/k+...

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