Calcolo combinatorio

  • Materia: Calcolo combinatorio
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  • Data: 02/01/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

Ad inizio anno, in una certa scuola si forma una classe di 20 alunni...

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Ad inizio anno, in una certa scuola si forma una classe di 20 alunni

1)Gli studenti devono essere divisi in 4 gruppi, due da $6$ e due da $4$. In quanti modi è possibile suddividerli?

2)Si devono eleggere 4 ragazzi: due rappresentanti e due vicerappresentanti. Determinare in quanti modi è possibile scegliere i 4 ragazzi, sapendo che ovviamente uno studente non può ricoprire la carica di rappresentante e di vice (i 4 devono essere tutti distinti).


1)

 

I ragazzi sono venti.

Supponiamo che l'insegnante decida i primi sei ragazzi che compongono un gruppo: questi possono essere scelti in

$C_(20,6)$ modi, ovvero $((20),(6))$ modi. L'ordine non conta infatti, i gruppi differiscono solo per qualità.

Scelti $6$ ragazzi qualsiasi, decide di chiamarne altri $6$ per formare il secondo gruppo.

A questo punto questi $6$ possono essere scelti tra i rimanenti $14$ (infatti un gruppo è già determinato)

I possibili modi sono pertanto $((14),(6))$

Mancano $8$ ragazzi all'appello.

L'insegnante ne sceglie $4$. Le possibili combinazioni sono date da

$((8),(4))$

I restanti $4$ possono essere scelti in un modo solo.

Pertanto le possibili configurazioni sono

$((20),(6))*((14),(6))*((8),(4))= 20!/(6!·6!·4!·4!)=8147739600$

2)

Supponiamo che dobbiamo scegliere prima i due rappresentanti, e successivamente i due vice.

I due rappresentanti possono essere scelti in

$C_(20,2)$ modi.

A questo punto i vice possono essere scelti tra i 18 rimanenti in

$C_(18,2)$ modi

Le configurazione possibili sono dunque

$((20),(2))*((18),(2))=29070$

Alternativamente potevamo dire che i $4$ ragazzi addetti alla rappresentanza sono selezianabili in

$((20),(4))$

e tra di essi le possibili configurazioni "primi rappresentanti e vice" sono

$((4),(2))$

Peranto le configurazioni totali sono

$((20),(4))*((4),(2))=29070$