Calcolo combinatorio

  • Materia: Calcolo combinatorio
  • Visto: 10388
  • Data: 21/04/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

Disposizioni: Calcolare il numero delle targhe che si possono formare nel caso...

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare il numero delle targhe che si possono formare nel caso in cui:
1) ciascuna targa contenga 2 diverse lettere seguite da 3 numeri distinti.
2)il primo numero sia diverso da zero.


Te lo svolgo per intero: se hai altri problemi simili ti indico la strada.
In questo caso è importante che il testo specifichi che le cifre e le lettere devono essere distinte.

1)Vediamo quante coppie di lettere possiamo formare: si tratta di disposizioni semplici.
Assumiamo che le lettere siano $26$, pertanto le disposizioni di $26$ elementi in coppie (classe $2$) sono pari a
$D_(26,2)=26*25=650$
Procediamo analogamente con i tre numeri. Le cifre a disposizioni sono $10$.
Bisogna dunque cercare le disposizioni di $10$ elementi in classe $3$
$D_(10,3)=10*9*8=720$
In definitiva, abbiamo $650$ modi per disporre le lettere e $720$ modi per disporre le cifre.
Le targhe possibili sono tante quante il prodotto di questi due numeri (si immagini di numerare le $650$ coppie di lettere, e abbinare la prima con le $720$ triadi di numeri, e di ripetere il ragionamento con ogni coppia di lettere; contando tutte le targhe, i conti tornano).
Il numero richiesto è $468000$

2)
Il problema è lo stesso di prima, con una minuta differenza.
Le possibili coppie di lettere già le abbiamo contate, sono $650$
Quanto ai numeri: il primo può essere scelto in $9$ modi, lo zero è escluso.
Quindi, le possibili cifre in prima posizione sono $9$.
La seconda posizione può essere occupata da tutti e $10$ i numeri, a eccezione di quello che già occupa la prima posizione; quindi ancora $9$ possibilità.
La terza posizione può essere occupata da $8$ numeri, ovvero i $10$ disponibili meno i $2$ già scelti.
Perciò le configurazioni totali possibili sono $650*(9*9*8)=421200$

Soluzione alternativa al 2):
Il numero di terne di numeri può essere anche determinato come segue.
Calcoliamo le disposizioni semplici, ovvero ignoriamo la limitazione dello zero non consentito al primo posto.
Si ha che esse sono, come già visto al punto 1, $720=10*9*8$
In realtà, di queste $720$, la decima parte ha "zero" al primo posto, questo è intuibile se immaginiamo di incolonnare tutte le terne sistemando prima tutte quelle che iniziano per zero, poi quelle che iniziano per $1$ e così via, fino a $9$.
Appurato che un decimo delle $720$ terne inizia per zero, dobbiamo calcolare i restanti nove decimi, ovvero
$9/10*10*9*8=9*9*8$, a conferma del risultato precedente (resta da moltiplicare per $650$)

FINE