Derivate

  • Materia: Derivate
  • Visto: 2989
  • Data: 08/08/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Derivabilità

esercizio svolto o teoria

A cura di: Luca Lussardi

Si data la funzione $f(x)$ definita da

 

$\sin (\frac{1}{x})$ se $x \ne 0$ e $0$ se $x=0$.

Discutere la derivabilità di $f$.

 

$f$ è continua anche in $x=0$ (altrove non vi sono problemi, per composizione di funzioni continue); infatti

 

$0 \le |x \sin(\frac{1}{x})| \leq |x|$
 

e dal Teorema del confronto per i limiti, si ha che

$\lim_{x \to 0}x \sin (\frac{1}{x})=0$.
 

La derivata prima in $x=0$ non esiste (altrove, sempre per composizione, $f$ è derivabile); infatti

 

$\lim_{h \to 0}\frac{h \sin(\frac{1}{h})}{h}=\lim_{h \to 0}\sin(\frac{1}{h})$
 

non esiste. Dunque, la funzione data non è derivabile in $x=0$.