Derivate

  • Materia: Derivate
  • Visto: 4574
  • Data: 08/08/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Derivata della funzione inversa

esercizio svolto o teoria

A cura di: Luca Lussardi

Si mostri che la funzione

$f(x)=3x+2+e^{4x}$
è invertibile su tutto $\RR$; denotando con $g$ la funzione inversa calcolare poi $\frac{3}{g'(3)}$.


La funzione data è definita e derivabile in tutto $\RR$; inoltre si ha

$f'(x)=3+4e^{4x}>0$
 
per ogni $x \in \RR$. Dunque $f$ strettamente monotona (crescente), quindi invertibile, e $f'(x)\ne 0$ per ogni $x \in \RR$. Ora si ha

 

$f(x)=3$ se e solo se $x=0

e dunque

$g'(3)=\frac{1}{f'(0)}=1/7$

 

da cui

$\frac{3}{g'(3)}=21$.