Disequazioni

  • Materia: Disequazioni
  • Visto: 2207
  • Data: 19/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$2 \\sin^2(x) + \\sin(x) - 3

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Risolvere  la seguente disequazione

 

$2 \sin^2(x) + \sin(x) - 3 < 0$ 


 Ponendo $t = \sin(x)$ la disequazione diventa

 

$2 t^2 + t - 3 < 0$

 

Le soluzioni dell'equazione associata sono

 

$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4} \implies t_1 = - \frac{3}{2} \quad t_2 =1$

 

La disequazione è risolta per $- \frac{3}{2} < t < 1$, ma vista la sostituzione $t = \sin(x)$

 

$- \frac{3}{2} < \sin(x) < 1$

 

$\sin(\cdot)$ è una funzione limitata fra $-1$ e $1$, pertanto

 

$\sin(x) > - \frac{3}{2} \quad \forall x \in \mathbb{R}$

 

$\sin(x) < 1 \implies \sin(x) \ne 1 \implies x \ne \frac{\pi}{2}$

 

Pertanto la disequazione iniziale è risolta nell'insieme $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ .

 

FINE