Disequazioni

  • Materia: Disequazioni
  • Visto: 2753
  • Data: 17/11/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$(2x+5)/(1-4x^2)-(x+2)/(4x^2-4x+1)

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la seguente disequazione

$(2x+5)/(1-4x^2)-(x+2)/(4x^2-4x+1)<=3/(2x+1)$


Iniziamo con il fattorizzare i denominatori delle frazioni, poichè sappiamo che in seguito dovremo eseguire il calcolo del minimo comun denominatore. Si avrà

$(2x+5)/((1-2x)(1+2x))-(x+2)/((1-2x)^2)<=3/(1+2x)$

e portando al primo membro la frazione che sta al secondo, otteniamo

$(2x+5)/((1-2x)(1+2x))-(x+2)/((1-2x)^2)-3/(1+2x)<=0$

Il minimo comun denominatore risulta essere

$(1-2x)^2*(1+2x)$

Riconducendo il tutto ad un'unica frazione, otterremo dunque

$((2x+5)(1-2x)-(x+2)(1+2x)-3(1-2x)^2)/((1-2x)^2*(1+2x))<=0$

Ovvero

$(-18x^2-x)/((1-2x)^2*(1+2x))<=0$

 

Ora nel denominatore $(1-2x)^2>0 AA x in RR -{1/2}$ poichè è un quadrato e non influisce sul segno, per cui discutiamo solo la disequazione

$(-18x^2-x)/(2x+1)<=0$

Andiamo a trovare le radici di numeratore e denominatore, e di conseguenza la loro positività e negatività

$(-18x^2-x)>=0$

Moltiplicando ambo i membri per $-1$ e cambiando verso alla disequazione

$(18x^2+x)<=0$

ovvero

$-1/18<=x<=0$

 

Infine

$2x+1>0$ $<=>$ $x> -1/2$

Vedendo i punti in cui la disequazione assume valore $<=0$, in un oppurtuno grafico dove sono riporati gli intervalli si ricava:

$-1/2<x<=-1/18$ U $0<=x<1/2$ U $x>1/2$

I due intervalli $0<=x<1/2$ U $x>1/2$ non possone essere uniti perchè per $x=1/2$ non ha senso la disequazione.

 

FINE