Disequazioni

  • Materia: Disequazioni
  • Visto: 4169
  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

$|2x-5|+4x>=x^2$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

$|2x-5|+4x>=x^2$



$|2x-5|>=x^2-4x$

Per risolvere la disequazione dobbiamo distinguere il caso in cui l'espressione $2x-5$
è positiva o nulla da quello in cui è negativa. Infatti
Se $2x-5>=0$  la disequazione è equivalente a   $2x-5>x^2-4x$
Se $2x-5<0$  la disequazione è equivalente a   $2x-5<-x^2+4x$

In definitiva, per risolvere la disequazione data, dobbiamo risolvere i due sistemi

$\{(2x-5>=0),(2x-5>=x^2-4x):} vv \{(2x-5<0),(2x-5<-x^2+4x):}$;

Studiamo il primo sistema
$\{(2x-5>=0),(2x-5>=x^2-4x):}$;
$\{(2x>=5),(-x^2+6x-5>=0):}$;
$\{(x>=5/2),(x^2-6x+5>=0):}$;
Studiamo la seconda disequazione
$x^2-6x+5>=0$

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-3)^2-(5*1)=9-5=4$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(3+-sqrt4)=(3+-2) => x_1=1 ^^ x_2=5$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<=1 vv x>=5$.
dis_mod_8_1.jpgPertanto $S_1= 5/2<=x<=5$

Studiamo ora il secondo sistema
$\{(2x-5<0),(2x-5<-x^2+4x):}$;
$\{(2x<5),(x^2-2x-5<0):}$
$\{(x<5/2),(x^2-2x-5<0):}$

Studiamo la seconda disequazione
$x^2-2x-5<0$

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-1)^2-((-5)*1)=1+5=6$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(1+-sqrt6) => x_1=(1-sqrt6) ^^ x_2=(1+sqrt6)$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è discorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli interni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$(1-sqrt6)<x<(1+sqrt6)$.
dis_mod_8_2.jpg
Pertanto $S_1=1-sqrt6<x<5/2$

In definitiva quindi la soluzione è data dalle unioni delle due soluzioni, cioè:
dis_mod_8_3.jpg$S=S_1 uu S_2 : 1-sqrt6<x<=5$.