Disequazioni

  • Materia: Disequazioni
  • Visto: 4392
  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

$|x^2-2|+x>0$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

$|x^2-2|+x>0$


$|x^2-2|+x>0$;
$|x^2-2|> -x$
Per risolvere la disequazione dobbiamo distinguere il caso in cui l'espressione $x^2-2$
è positiva o nulla da quello in cui è negativa. Infatti
Se $x^2-2>=0$  la disequazione è equivalente a   $x^2-2> -x$
Se $x^2-2<0$  la disequazione è equivalente a   $x^2-2<x$

In definitiva, per risolvere la disequazione data, dobbiamo risolvere i due sistemi

$\{(x^2-2>=0),(x^2-2> -x):} vv \{(x^2-2<0),(x^2-2<x):}$;

Studiamo il primo sistema
$\{(x^2-2>=0),(x^2-2> -x):}$;
$\{(x^2>=2),(x^2+x-2>0):}$
Studiamo la prima disequazione
1)$x^2>=2$
Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l'intervallo esterno,
per cui la soluzione sarà:
$x<=-sqrt2 vv x>=sqrt2$.
Studiamo la seconda disequazione
$x^2+x-2>0$

$\Delta=b^2-4ac=(1)^2-(4*(-2)*1)=1+8=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-1+-sqrt9)/2=(-1+-3)/2 => x_1=-2 ^^ x_2=1$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l'intervallo esterno,
per cui la soluzione sarà:
$x<-2 vv x>1$
dis_mod_7_1.jpg
Pertanto $S_1=x<-2 vv x>=sqrt2$

Studiamo ora il secondo sistema
$\{(x^2-2<0),(x^2-2<x):}$;
$\{(x^2<2),(x^2-x-2<0):}$;
Studiamo la prima disequazione
1)$x^2<2$
Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono discordi,
prenderemo come soluzione accettabile l'intervallo interno,
per cui la soluzione sarà:
$-sqrt2<x<sqrt2$.
Studiamo la seconda disequazione
2)$x^2-x-2<0$

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-(4*(-2)*1)=1+8=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(1+-sqrt9)/2=(1+-3)/2 => x_1=-1 ^^ x_2=2$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono discordi,
prenderemo come soluzione accettabile l'intervallo interno,
per cui la soluzione sarà:
$-1<x<2$
dis_mod_7_2.jpgPertanto $S_2=-1<x<sqrt2$

In definitiva quindi la soluzione è data dalle unioni delle due soluzioni, cioè:
dis_mod_7_3.jpg$S=S_1 uu S_2 : x<-2 ^^ x> -1$.