Disequazioni

  • Materia: Disequazioni
  • Visto: 4199
  • Data: 23/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Disequazione goniometrica-esponenziale$(e^(cosx)-sqrt(e))/(e^(tanx)-e^(1/sqrt3))>0$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la seguente disequazione esponenziale goniometrica

$(e^(cosx)-sqrt(e))/(e^(tanx)-e^(1/sqrt3))>0$


Dobbiamo studiare il comportamento di numeratore e denominatore, separatamente (omettiamo la periodicità, riportando i risultati del primo giro)

$e^(cosx)-sqrte>0$

$e^(cosx)>sqrte$

Ma possiamo anche scrivere

$sqrte=e^(1/2)$ perciò

$e^(cosx)>e^(1/2)$

A questo punto, dobbiamo verificare quando l'esponente di sinistra è maggiore di quello di destra

$cosx>1/2$

ovvero

$0<x<pi/3$

e

$5/3pi<x<2pi

Per questi valori dell'incognita, il numeratore è positivo.

Deduciamo dunque che per i restanti valori, ovvero

$pi/3<x<5/3pi$

il numeratore è negativo.

Passiamo ora la denominatore

$e^(tanx)-e^(1/sqrt3)>0$

$e^(tanx)>e^(1/sqrt3)$

Coinvolgendo gli esponenti

$tanx>1/sqrt3$

ovvero

$pi/6<x<pi/2$

e

$7/6pi<x<3/2pi$

I valori complementari renderanno il denominatore negativo

$0<x<pi/6$

$pi/2<x<7/6pi$

$3/2pi<x<2pi$

Avendo alla mano lo studio del segno di numeratore e denominatore, vediamo che la disequazione chiede i valori per i quali la frazione sia positiva.

Pertanto, occorre che numeratore e denominatore siano di segno concorde.

Assumiamo che entrambi siano positivi. Mettendo a sistema i valori di $x$ che rendono positivi numeratore e denominatore, vediamo quali di essi sono condivisivi.

Riscriviamoli

${(0<x<pi/3),(5/3pi<x<2pi):}$

per il numeratore

${(pi/6<x<pi/2),(7/6pi<x<3/2pi):}$

per il denominatore.

Rappresentando tali intervalli su una retta, possiamo dire che i valori comuni sono nell'intervallo

$pi/6<x<pi/3$

Assumiamo che numeratore e denominatore siano negativi.

Per il numeratore abbiamo i seguenti intervalli

$pi/3<x<5/3pi$

Per il denominatore

${(0<x<pi/6),(pi/2<x<7/6pi),(3/2pi<x<2pi):}$

I valori comuni sono negli intervalli

$pi/2<x<7/6pi$

$3/2pi<x<5/3pi$

che insieme a quelli già trovati in

$pi/6<x<pi/3$

sono quelli che rendono vera la nostra disequazione di partenza.

FINE