Disequazioni

  • Materia: Disequazioni
  • Visto: 3865
  • Data: 23/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\sin^3(x) + \\cos^3(x) > 0$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Risolvere la seguente disequazione

 

$\sin^3(x) + \cos^3(x) > 0$

 


Ricordando il prodotto notevole

 

 

$(a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

 

risulta

 

$\sin^3(x) + \cos^3(x) = (\sin(x) + \cos(x))(\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) + \cos^2(x)) = (\sin(x) + \cos(x))(1 - \frac{\sin(2x)}{2})$

 

La funzione $\sin(2x)$ è limitata fra $-1$ e $1$, quindi $\frac{\sin(2x)}{2}$ è limitata fra $-\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$, di conseguenza $1 - \frac{\sin(2x)}{2} > 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$, pertanto la disequazione è soddisfatta per

 

$\sin(x) + \cos(x) > 0$

 

Le soluzioni dell'equazione associata si trovano risolvendo il sistema

 

$\{(\sin(x) = - \cos(x)),(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1):} = \{(\sin(x) = - \cos(x)),(\cos^2(x) + \cos^2(x) = 1):} = \{(\sin(x) = - \cos(x)),(\cos(x) =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}):}$

 

da cui

 

$x_1 = - \frac{\pi}{4} + 2 k \pi \quad \quad x_2 = \frac{3}{4} \pi + 2 k \pi$

 

Pertanto la soluzione della disequazione è

 

$- \frac{\pi}{4} + 2 k \pi < x < \frac{3}{4} \pi + 2 k \pi \quad \quad k \in \mathbb{Z}$

 

FINE