$sqrt(x+3)(2x-1)$

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$sqrt(x+3)(2x-1)$

Materia: Disequazioni Visualizzato: 1256 volte Scaricato: 0 volte Data: 17/12/2009

$sqrt(x+3)(2x-1)$

Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

$sqrt(x+3)<sqrtx+sqrt(2x-1)$

Per l'esistenza della disequazione deve essere:
$\{(x+3>=0),(2x-1>=0),(x>=0):}$;
$\{(x>=-3),(x>=1/2),(x>=0):}$;
L'unione delle soluzioni sarà:

$S={x>=1/2}$
In tale condizione i due membri sono positivi, elevando al quadrato si deve risolvere il sistema:

$\{(sqrt(x+3))^2<(sqrtx+sqrt(2x-1))^2),(x>=1/2):}$;
$\{(x+3<x+2x-1+2sqrt(x(2x-1))),(x>=1/2):}$;
$\{(sqrt(x(2x-1))>2-x),(x>=1/2):}$;
Eleviamo ancora al quadrato ambo membri della prima equazione:
$\{(x(2x-1)>(2-x)^2),(x>=1/2):}$;
$\{(2x^2-x>4-4x+x^2),(x>=1/2):}$;
$\{(x^2+3x-4>0),(x>=1/2):}$;
Studiamo la disequazione di secondo grado:
$x^2+3x-4>0$

$\Delta=b^2-4ac=3^2-(4*1*(-4))=9+16=25$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-3+-sqrt(25))/2=(-3+-5)/2 => x_1=-4 ^^ x_2=1$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<-4 vv x>1$.

L'unione delle soluzioni, darà la soluzione finale