Equazioni differenziali

  • Materia: Equazioni differenziali
  • Visto: 20224
  • Data: 28/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Problema di Cauchy - equazione differenziale del primo ordine non lineare

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 

$\{(y' = \frac{y}{x} (\frac{1}{2\log(\frac{y}{x})} +1)),(y(1) = e):}$

 


Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, pertanto la soluzione al problema di Cauchy esiste ed è unica. Ponendo $\frac{y}{x} = z$ si ottiene

 

$y = x \cdot z$

 

da cui

 

$y' = z + x \cdot z'$

 

Sostituendo questi valori nell'equazione differenziale si ottiene

 

$z + x z' = z (\frac{1}{2 \log(z)} + 1)$

 

$z + x z' = \frac{z}{2 \log(z)} + z$

 

$x z' = \frac{z}{2\log(z)}$

 

Si nota che $z = 0$ non è soluzione dell'equazione. Dividendo ambo i mebri per $x$, e moltiplicando per $\frac{\log(z)}{z}$ si ottiene

 

$\frac{2 \log(z)}{z} z' = \frac{1}{x}$

 

Integrando ambo i mebri

 

$\int  \frac{2 \log(z)}{z} z' dx = \int \frac{1}{x} dx$

 

 $\int  \frac{2 \log(z)}{z} dz = \int \frac{1}{x} dx$

 

da cui

 

$\log^2(z) = \log|x| + c$

 

$\log(z) = \pm \sqrt{\log|x| + c}$

 

$z = e^{\pm \sqrt{\log|x| + c}}$

 

Ricordando la sostituzione fatta inizialmente si trova

 

$\frac{y}{x} =  e^{\pm \sqrt{\log|x| + c}}$

 

ovvero

 

$y = x \cdot e^{\pm \sqrt{\log|x| + c}}$

 

Imponendo la condizione iniziale si trova

 

$e = e^{\pm \sqrt{c}}$

 

Si nota che la soluzione  $y = x \cdot e^{- \sqrt{\log|x| + c}}$ deve essere scartata, e che il problema di Cauchy è soddisfattoper $c=1$. Pertanto la soluzione del problema di Cauchy è

 

$y = x \cdot e^{\sqrt{\log|x| + 1}}$

 

FINE