Problema di Cauchy - ODE lineare del primo ordine

Materia: Equazioni differenziali Visualizzato: 7352 volte Scaricato: 0 volte Data: 29/06/2007

Problema di Cauchy - ODE lineare del primo ordine

Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Risolvere il seguente problema di Cauchy

 

$\{(y' = \frac{y}{1 + x^2} + 2x e^{"arctg"(x)}),(y(1) = 1):}$

 

Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, pertanto la soluzione a tale problema esiste ed è unica.

 

Data un'equazione differenziale del primo ordine, del tipo

 

$y' = \alpha(x) y + \beta(x)$

 

il suo integrale generale è pari a

 

$y = e^{A(x)} [C + \int e^{-A(x)} \beta(x) dx]$

 

dove $A(x)$ è una primitiva di $\alpha(x)$ e $C \in \mathbb{R}$ è una costante arbitraria.

Pertanto, in questo caso l'integrale generale è

 

$y = e^{"arctg"(x)} [C + \int e^{-"arctg"(x)} 2x e^{"arctg"(x)} dx] = e^{"arctg"(x)} [C + \int 2x dx] = e^{"arctg"(x)} [C + x^2]$

 

Imponendo la condizione iniziale:

 

$1 = e^{\frac{\pi}{4}} (C+1)$

 

$C + 1 = e^{-\frac{\pi}{4}} \quad \implies \quad C = e^{-\frac{\pi}{4}} -1$

 

Quindi la soluzione del problema di Cauchy è

 

$y =  e^{"arctg"(x)} [e^{-\frac{\pi}{4}} -1 + x^2]$

 

FINE

 

 

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