Equazioni esp/log

  • Materia: Equazioni esp/log
  • Visto: 4873
  • Data: 19/05/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

$2^(2x+5) +2*3^(x+2)=3^(x+3)+2^(2x+4)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Sia da risolvere questa equazione esponenziale:
$2^(2x+5) +2*3^(x+2)=3^(x+3)+2^(2x+4)$


Applicando le note proprietà delle potenze, e portando tutti i termini al primo membro, otteniamo
$2^(2x)*2^5+2*3^x*3^2-3^x*3^3-2^(2x)*2^4=0$
ora possiamo raccogliere i fattori comuni $2^(2x)$ e $3^x$, ottenendo
$2^(2x)*(2^5-2^4)+3^x*(2*3^2-3^3)=0$
Ma $2^5-2^4=2^4$ e $2*3^2-3^3=18-27=-9=-3^2$
quindi si ha facilmente
$2^4*2^(2x)=3^2*3^x$
cioè
$2^(2(x+2))=3^(x+2)$
Passando ora ai logaritmi e usando le loro proprietà, abbiamo
$2(x+2)\log(2)=(x+2)log3$
Portando ora tutto a sinistra
$(2log2)*(x+2)-(log3)*(x+2)=0$
e raccogliendo la parentesi si giunge a
$(x+2)*(2log2-log3)=0$

Questa equazione deve essere vista come una del tipo
$ax=0$ dal momento che $2log2-log3$ è un semplice costante.
In definitiva, la quantità di sinistra vale $0$ solo quando si annulla $x+2$, quindi la soluzione è
$x=-2$

FINE