Equazioni esp/log

  • Materia: Equazioni esp/log
  • Visto: 2807
  • Data: 01/12/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

$3^(1+2x) +4/3 = 4*3^(x)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

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Risolvere la seguente equazione esponenziale


$3^(1+2x) +4/3 = 4*3^(x)$

Risulta essere, per semplici proprietà delle potenze

$3^(1+2x)=3*3^(2x)$

Quindi la nostra equazione diventa

$3*3^(2x)-4*3^(x)+4/3=0$

ovvero, moltiplicando entrambi i membri per $3$

$9*3^(2x)-12*3^(x)+4=0$

Poniamo $3^x=T$ (con $T>0$, dal momento che fa le veci di $3^x$, che non è mai negativo e nemmeno nullo) e risolviamo l'equazione di secondo grado in T, cioè

$9*T^2-12*T+4$
Ma riconosciamo che l'espressione del primo membro è il quadrato di un binomio, cioè
$(3T-2)^2=0$

La soluzione è ovviamente $T=2/3$, per cui

$3^x=2/3$, cioè $x=log_3(2/3)$.

La soluzione può anche essere scritta, usando una proprietà dei logaritmi,
$log_3(2/3)=log_3 2-log_3 3$
ovvero
$log_3 2-1$

 

FINE