Equazioni esp/log

  • Materia: Equazioni esp/log
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  • Data: 27/08/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$3^(2x)-2^(2x+1)-6^x=0$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva la seguente equazione

$3^(2x)-2^(2x+1)-6^x=0$


 

Iniziamo a dividere il tutto per $6^x$ senza problemi, dal momento che $6^x !=0$ $forallx inRR$

e otteniamo

$3^(2x)/6^(x)-(2*2^(2x))/6^x-1=0$

$(3^x*3^x)/(3^x*2^x)-(2*2^x*2^x)/(2^x*3^x)-1=0$

$3^x/2^x-2*2^x/3^x-1=0$

$(3/2)^x-2*(2/3)^x-1=0$

 

A questo punto risulta evidente che dobbiamo porre

$(3/2)^x=t>0$

e inoltre risulta anche essere

$(2/3)^x=(3/2)^(-x)=t^(-1)$

 

Pertanto l'equazione diventa

$t-2t^(-1)-1=0$

$t-2/t-1=0$

$t^2-t-2=0$

quest'ultima equazione restituisce due soluzioni

$t_1=-1$

$t_2=2$$

La prima è da scartare, in quanto $t$ è un esponenziale (positivo per definizione).

$(3/2)^x=2->x=log_(3/2) 2=1/(log_2 3/2)=1/(log_2 3-log_2 2)=1/(log_2 3-1)$

Nell'ultimo passaggio sono state usate le comuni proprietà dei logaritmi.

 

FINE