Equazioni esp/log

  • Materia: Equazioni esp/log
  • Visto: 3395
  • Data: 23/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$logsinx+logsin2x=logcosx+1$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva l'equazione

$logsinx+logsin2x=logcosx+1$

Il logaritmo è da intendersi in base 2

La prima cosa da fare è definire il dominio.

In particolare, la funzione logaritmo richiede che l'argomento sia positivo

${(sinx>0),(sin2x>0),(cosx>0):}$

 

Quanto all'equazione logaritmica

$logsinx+logsin2x=logcosx+1$

Applichiamo la proprietà del logaritmo secondo la quale

$loga+logb=log(ab)$

E otteniamo ad esempio che

$logsin2x=log(2sinxcosx)=log2+logsinx+logcosx$ ma nel nostro caso $log2=1$ perchè la base del logaritmo è $2$

Si ha dunque

$logsinx+1+logsinx+logcosx=logcosx+1$

Ovvero

$2logsinx=0$

$logsinx=0$

Affinchè un logaritmo valga zero, occorre che il suo argomento sia $1$

Perciò impostiamo

$sinx=1$

verificata per

$x=pi/2+2kpi$

Ma osserviamo che per questi valori il coseno risulta nullo: questo è in contrasto con il nostro dominio, che chiede il coseno strettamente positivo (quindi non nullo, poichè non ha senso parlare di logaritmo di zero).

L'equazione non ammette soluzioni accettabili.

 

FINE