Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 2287
  • Data: 22/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\ln(1 + \"arctg\"(x))^x}{e - e^{\\cos^4(x)}}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))^x}{e - e^{\cos^4(x)}}$

 


Rciordando le proprietà dei logaritmi, e raccogliendo al denominatore un fattore $-e$, si ottiene

 

 

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{-e} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{e^{\cos^4(x) - 1} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{-e} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{"arctg"(x)}{\cos^4(x) - 1} \frac{\cos^4(x) - 1}{e^{\cos^4(x) - 1} - 1} =$

$ = \lim_{x \to 0} \frac{x}{-e} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{"arctg"(x)}{(\cos^2(x) - 1)(\cos^2(x) + 1)} \frac{\cos^4(x) - 1}{e^{\cos^4(x) - 1} - 1} =$

 $ = \lim_{x \to 0} \frac{x}{e} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{"arctg"(x)}{(1 - \cos^2(x))(\cos^2(x) + 1)} \frac{\cos^4(x) - 1}{e^{\cos^4(x) - 1} - 1} =$

$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e (\cos^2(x) + 1)} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{x "arctg"(x)}{\sin^2(x)} \frac{\cos^4(x) - 1}{e^{\cos^4(x) - 1} - 1} =$

$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e (\cos^2(x) + 1)} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{x}{\sin(x)} \frac{"arctg"(x)}{x} \frac{x}{\sin(x)} \frac{\cos^4(x) - 1}{e^{\cos^4(x) - 1} - 1}$

 

Ricordando i limiti notevoli

 

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} =1$

 

$\lim_{t \to  0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1$

 

$\lim_{t \to 0} \frac{"arctg"(t)}{t} = 1$

 

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1$

 

e osservando che $"arctg"(x) \to 0$ e $\cos^4(x) - 1 \to 0$ per $x \to 0$, si ottiene

 

$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{e (\cos^2(x) + 1)} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{x}{\sin(x)} \frac{"arctg"(x)}{x} \frac{x}{\sin(x)} \frac{\cos^4(x) - 1}{e^{\cos^4(x) - 1} - 1} = \frac{1}{2e} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2e}$

 

FINE