Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
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  • Data: 12/09/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Continuità di funzione definita su intervalli

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Determinare, se possibile, le costanti $a, b \in \mathbb{R}$ in modo che la seguente funzione reale di variabile reale sia continua in $\mathbb{R}$.

$f(x) = \{(e^{\frac{1}{x}}, "se " x \in (-\infty, 0)),(a x^4 + b, "se " x \in [0, \frac{\pi}{2}]),(\sin(x), "se " x \in (\frac{\pi}{2}, +\infty)):}$

La funzione è continua in $\mathbb{R} \setminus \{0, \frac{\pi}{2}\}$ indipendentemente dai valori di $a,b$, perché ottenuta per composizione di funzioni continue. Si devono quindi determinare $a, b \in \mathbb{R}$ affinché la funzione sia continua pure in $0$ e $\frac{\pi}{2}$.
La $f$ è continua in $0$ se e solo se
$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{1}{x}} = 0$
$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} a x^4 + b = b$
Affinché i limiti destro e sinistro di zero siano uguali è necessario che valga $b = 0$. Inoltre $f(0) = b$, pertanto, scegliendo $b=0$, la funzione risulta continua in $0$. Ragionando allo stesso modo per $\frac{\pi}{2}$, e considerando $b=0$, si ottiene
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} a x^4 = a \frac{\pi^4}{16}$
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{+}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{+}} \sin(x) = 1$
Affinché i limiti destro e sinistro siano uguali è necessario scegliere $a=\frac{16}{\pi^4}$. Dato che $f(\frac{\pi}{2}) = a \frac{\pi^4}{16}$, con la scelta $a=\frac{16}{\pi^4}$ la funzione risulta continua pure in $\frac{\pi}{2}$.
In conclusione, affinché la $f$ sia continua in tutto $\mathbb{R}$, è necessario scegliere $a = \frac{16}{\pi^4}$ e $b = 0$.
FINE