Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
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  • Data: 18/12/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Dato il triangolo equilatero $\\stackrel(Delta){ABC}$ .....determinare il limite del rapporto..

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

 

 

Figura

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dato il triangolo equilatero $\stackrel(Delta){ABC}$ di lato 2 tracciare con centro in $A$ la circonferenza di raggio 1 che incontri $\bar{AB}$ in $M$ e $\bar{AC}$ in $N$. Preso un punto $P$ sull'arco $MN$ interno al triangolo,determinare il limite del rapporto $(PB-PA)/(PM)$ al tendere di $P$ ad $M$ sull'arco $MN$

 

Poniamo

$\hat(PAK)=x$

Inoltre

$\bar{AP}=1$

poichè esso risulta essere raggio della circonferenza, e in virtù di ciò è uguale al segmento $\bar{AM}$

Poi possiamo anche dire che

$\bar{AK}=cos(x)$

$\bar{PK}=sen(x)$

grazie al teorema dei triangoli rettangoli che lega cateto e ipotenusa.

Poi

$\bar{AM}=1$

$\bar{KM}=1 - cos(x)$

Per Pitagora si ha

$\bar{PM}=sqrt{\bar{PK}^2+\bar{KM}^2}=sqrt{(1-cos(x))^2 + sen^2(x)}=sqrt{1-2cos(x)+cos^2(x) + sen^2(x)}=$

$=sqrt{1-2cos(x)+1}=sqrt{2-2cos(x)}$

Troviamo $\bar{KB}$ sommando due segmenti noti.

$\bar{KB}=\bar{KM} + \bar{MB}=1 - cos(x) + 1=2 - cos(x)$

Applicando nuovamente Pitagora

$\bar{PB}=sqrt{\bar{PK}^2 + \bar{KB}^2}=sqrt{sen^2(x) + (2 - cos(x))^2}=sqrt{sen^2(x) + 4 - 4cos(x) + cos^2(x)}=$

$=sqrt{1 + 4 - 4cos(x)}=sqrt{5 - 4cos(x)}$

Il rapporto di cui dobbiamo calcolare il limite è

$frac{\bar{PB}-\bar{PA}}{\bar{PM}}=frac{sqrt{5 - 4cos(x)} - 1}{sqrt{2 - 2cos(x)}}$

$lim_{x to 0}frac{sqrt{5 - 4cos(x)} - 1}{sqrt{2 - 2cos(x)}}=[frac{0}{0}]$

De L'Hopital

$lim_{x to 0}frac{frac{1}{2sqrt{5 - 4cos(x)}}*4sen(x)}{frac{1}{2sqrt{2 - 2cos(x)}}*2sen(x)}=$

$=frac{1}{2sqrt{5 - 4cos(x)}}*4sen(x)*2sqrt{2 - 2cos(x)}*frac{1}{2sen(x)}=frac{2*0}{1}=0$

Eventualmente, si poteva anche tentare la via della razionalizzazione.

FINE