Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 1457
  • Data: 08/05/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\lim_{n\\rightarrow\\infty} n^2 \\sin(\\frac{1}{n}) \\sqrt{1-\\cos(\\frac{2}{n})}=$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Administrator

Il limite si presenta in forma indeterminata ($\infty\cdot 0$).

Si ha

$\lim_{n\rightarrow\infty} n^2 \sin(\frac{1}{n}) \sqrt{1-\cos(\frac{2}{n})}=$

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1-\cos\frac{2}{n}}}{\sqrt{(\frac{1}{n})^2}}=$

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{1-\cos(\frac{2}{n})}{\frac{1}{4} (\frac{2}{n})^2}}$

Posto allora $\frac{1}{n} = t$ e $\frac{2}{n}=k$, risulta

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}\ 2\ \sqrt{\frac{1-\cos(\frac{2}{n})}{(\frac{2}{n})^2}} =$

$2\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}\cdot\lim_{k\rightarrow 0} \sqrt{\frac{1-\cos k}{k^2}}=2\cdot 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$