Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 1404
  • Data: 08/05/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt{n^2+n}\\cdot[1-\\cos(\\frac{1}{n})]$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Administrator

Il limite forma indeterminata$+\infty\cdot 0$.

Ricordando il limite notevole $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$, si ha

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+n}\cdot[1-\cos(\frac{1}{n})] =$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n^2}\cdot\frac{[1-\cos(\frac{1}{n})]}{\frac{1}{n^2}} =$

Posto ora $\frac{1}{n}=t \Rightarrow t\rightarrow 0\ \text{per}\ n\rightarrow\infty$ si ottiene

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sqrt{n^2\cdot(1+\frac{1}{n})}}{n^2}\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=$

$\frac{1}{2}\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|n|\cdot\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{n^2}=$

$\frac{1}{2}\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{|n|} =$

$\frac{1}{2}\cdot 0 = 0$