Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 2508
  • Data: 12/11/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli
$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$


La forma è indeterminata, in particolare vediamo che siamo nel caso di un $1^(infty)$


Eseguiamo qualche semplice trasformazione: raccogliamo $cosx$
$(sinx+cosx)^(1/x)=[cosx((sinx)/(cosx)+1)]^(1/x)=(cosx)^(1/x)*(tanx+1)^(1/x)$

 

Risolviamo ora separatamente i due fattori.
$lim_(x->0) (cos x)^(1/x)=1$ in effetti questa sarebbe ancora una forma indeterminata,
ma la "velocità" con cui $cosx$ tende a 1 è più forte di quella con cui $1/x$ tende a infinito ( ricordiamo che $lim_(x->0) (1-cos x)/x=0$).

 

Per il secondo limite notevole, possiamo sfruttare il fatto che se $x->0$ allora i valori di $tanx$ si approssimano con quelli di $x$
$lim_(x->0) (tanx +1)^(1/x)=lim_(x->0) (1+x)^(1/x)$
ma quest'ultimo è un limite notevole che dà come risultato $e$.

 

Da cui $lim_(x->0) (cos x)^(1/x) *(tanx+1)^(1/x)=1* e^1= e$

FINE