Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 2045
  • Data: 06/01/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

$lim_(x->oo)ln(1+1/(2x))/[1-e^(1/x)]$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare il seguente limite

$lim_(x->oo)ln(1+1/(2x))/[1-e^(1/x)]$


Per semplificare la forma operiamo una sostituzione

$t=1/(2x)$

E' quindi evidente che se

$x->oo$

si ha che

$t->0$

A questo punto il limite diventa

$lim_(t->0)ln(1+t)/[1-e^(2t)]$

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $2t$ con lo scopo di far apparire dei limiti notevoli

$lim_(t->0)ln(1+t)/t*(2t)/[1-e^(2t)]*1/2$

Ora si osserva che

$lim_(t->0)ln(1+t)/t=1$

e che

$lim_(t->0)[2t]/(e^(2t)-1)=1$

Nel nostro caso in realtà abbiamo

$(2t)/[1-e^(2t)]$ ma non è un problema, basta mettere un meno in evidenza, ottenendo

$-(2t)/[e^(2t)-1]$

Quindi, usando tali risultati nel nostro caso, possiamo facilmente concludere in questo modo

$lim_(t->0)ln(1+t)/t*(2t)/[1-e^(2t)]*1/2=1*(-1)*1/2=-1/2$

FINE