Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
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  • Data: 29/02/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

$lim_{x to 0} {3^{x^2} - 2^{x^2}}/ {xsenx}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare
$lim_{x to 0} {3^{x^2} - 2^{x^2}}/ {xsenx}$




Per prima cosa occorre ricordare che, per valori di $x$ prossimi allo zero, si ha l'approssimazione
$x\approx sinx$
Questo è molto utile, perchè possiamo scrivere il nostro limite nella maniera seguente (dato che $xto 0$)
$lim_{x to 0} {3^{x^2} - 2^{x^2}}/ {xsenx}=lim_{x to 0} {3^{x^2} - 2^{x^2}}/ {x*x}$
Perciò si ha
$lim_{x to 0}(3^(x^2)-2^(x^2))/(x^2)$.

Ponendo $x^2=t$ il tutto diventa
$lim_{x to 0}(3^t-1)/t+(1-2^t)/t$ (abbiamo aggiunto e sottratto $1$ al numeratore)
che è la somma di limiti notevoli.
Infatti sappiamo che
$lim_(xto 0) (a^x-1)/x=lna$
Perciò risulterà che
$lim_(xto 0) (3^t-1)/t=ln3$
$lim_(xto 0) (1-2^t)/t=lim_(xto 0) -(2^t-1)/t=-ln2$
Perciò si ha che
$lim_{x to 0}(3^t-1)/t+(1-2^t)/t=ln3-ln2$ che può anche essere espresso in maniera più compatta nella forma $ln(3/2)$  (in virtù di una nota proprietà dei logaritmi).

FINE