Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 1526
  • Data: 21/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{\\sin(\\frac{1}{x})}{\\sqrt{3x^2 + 1} - \\sqrt{3x^2 - 1}}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\sqrt{3x^2 + 1} - \sqrt{3x^2 - 1}}$


Il limite si presenta sotto la forma
$\frac{0}{\infty - \infty}$
Moltiplicando a numeratore e denominatore per $\sqrt{3x^2 + 1} + \sqrt{3x^2 - 1}$ si ottiene
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(\frac{1}{x}) (\sqrt{3x^2 + 1} + \sqrt{3x^2 - 1})}{3x^2 + 1 - 3x^2 + 1} = \lim_{x \to+\infty} \frac{1}{2} \sin(\frac{1}{x}) (\sqrt{3x^2 + 1} + \sqrt{3x^2 - 1})$
Mettendo in evidenza $\sqrt{x^2}$ si ottiene
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} \sin(\frac{1}{x}) \sqrt{x^2} (\sqrt{3 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3 - \frac{1}{x^2}})$
Dato che $\sqrt{x^2} = |x|$, e dato che per $x > 0$ risulta $|x| = x$, allora il limite diventa
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} \sin(\frac{1}{x}) \cdot x \cdot (\sqrt{3 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3 - \frac{1}{x^2}}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} (\sqrt{3 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3 - \frac{1}{x^2}})$
Ricordando il limite notevole
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = 1$
il risultato del limite è
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} (\sqrt{3 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3 - \frac{1}{x^2}}) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
FINE