Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 2005
  • Data: 22/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\lim_{x \\to +\\infty}\\sqrt{2 + x^3} - \\sqrt{1 + 2x^2 + x^3}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\lim_{x \to +\infty}\sqrt{2 + x^3} - \sqrt{1 + 2x^2 + x^3}$

 


Il limite si presenta sotto la forma $\infty - \infty$; moltiplicando a numeratore e denominatore per $\sqrt{2 + x^3} + \sqrt{1 + 2x^2 + x^3}$ si ottiene

 

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + x^3 - 1 - 2x^2 - x^3}{\sqrt{2 + x^3} + \sqrt{1 + 2x^2 + x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 2x^2}{x^{\frac{3}{2}} (\sqrt{\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 1} + \sqrt{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x} + 1}))$

 

Dividendo per $x^{\frac{3}{2}}$ sia al numeratore che al denominatore si ottiene

 

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - 2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 1} + \sqrt{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x} + 1}} = \frac{0 - \infty}{1 + 1} = -\infty$

 

FINE