Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
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  • Data: 29/02/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

$lim_(xto 0) (x(1-e^x))/(cosx-1)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli
$lim_(xto 0) (x(1-e^x))/(cosx-1)$



La forma è chiaramente indeterminata.
Si può procedere usando gli sviluppi asintotici o il teorema di De L'Hopital.
Usando invece i limiti notevoli, possiamo procedere come segue.

Moltiplicando numeratore e denominatore per $x$ si ottiene
$lim_(xto 0) (x(1-e^x))/(cosx-1) = lim_(xto 0)(1-e^x)/x (x^2)/(cosx-1)$

Ora è utile moltiplicare il numeratore e il denominatore della seconda frazione per il termine $1+cosx$
$lim_(xto 0)(1-e^x)/x (x^2)/((cosx-1)(cosx+1))(cosx+1)$
ma poichè $(cosx+1))(cosx+1)=cos^2x-1=-sin^2x$ si ottiene
$lim_(xto 0) (1-e^x)/x (x^2)/(-sin^2x)(cosx+1)=lim_(xto 0) (e^x-1)/x (x^2)/(sin^2x)(cosx+1)$
Ora abbiamo solo limiti notevoli

Ricordando che
$lim_(xto 0) x/(sinx)=1$
$lim_(xto 0) (e^x-1)/x$
si conclude che il valore del limite è $2$

FINE