Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
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  • Data: 26/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$lim_{xto 0}((log_{a}(x+2)-log_{a}(2))/x)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_{a}(x + 2) - \log_{a}(2)}{x}$

 

al variare di $a > 0$.

 


Ricordando le proprietà dei logaritmi, il limite diventa

 

 

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log_{a}(\frac{x+2}{2}) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \frac{\ln(\frac{x+2}{2})}{\ln(a)} =$

 

$= \frac{1}{\ln(a)} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + \frac{x}{2}) = \frac{1}{\ln(a)} \lim_{x \to 0} \ln(1 + \frac{x}{2})^{\frac{1}{x}}$

 

Ponendo $\frac{x}{2}= t$ si ottiene

 

$\frac{1}{\ln(a)} \lim_{t \to 0} \ln(1 + t)^{\frac{1}{2t}} = \frac{1}{\ln(a)} \ln[((1 + t)^{\frac{1}{t}})^{\frac{1}{2}}]$

 

Ricordando il limite notevole

 

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

 

si ottiene

 

$\frac{1}{\ln(a)} \ln[((1 + t)^{\frac{1}{t}})^{\frac{1}{2}}] = \frac{1}{\ln(a)} \ln(e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2 \ln(a)}$

 

FINE