Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 1991
  • Data: 25/10/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva il limite seguente

$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}$


Possiamo facilmente accorgerci che la forma è indeterminata.

Sostituendo infatti si ha

$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}=frac{1-1}{0}=frac{0}{0}$

Usiamo la regola di De L'Hopital.

Poniamo inoltre

$1/x=t$ con $t->0$

 

$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}=lim_(t->0) frac{1/tsint-1}{t^2}=lim_(t->0) frac{(sint-t)/t}{t^2}=lim_(t->0) frac{sint-t}{t^3}$

Negli ultimi due passaggi abbiamo sommato le frazioni al numeratore, poi abbiamo portato $t$ di sotto, facendo diventare $t^3$ il denominatore.

 

Ora possiamo passare alle derivate.

Si ha

$lim_(t->0) frac{sint-t}{t^3}=lim_(t->0) frac{cost-1}{3t^2}$

Portando fuori dal limite $1/3$

$1/3lim_(t->0) frac{cost-1}{t^2}=1/3lim_(t->0) -frac{1-cost}{t^2}$

E ricordando il limite notevole

$lim_(yto0) (1-cosy)/y^2=1/2$

si ottiene

$1/3lim_(t->0) -frac{1-cost}{t^2}=1/3*(-1/2)=-1/6$

 

Volendo, potremmo anche procedere con gli sviluppi asintotici, quindi

$lim_(t rarr0 ) ((sint/t)-1)/t^2$

che si trasforma in

$lim_(t rarr 0)((t-t^3/6)/t -1)/t^2 = -1/6 $

 

FINE