Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
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  • Data: 04/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Limite $\\lim_{x \\to 0} \\frac{(\\cos(x))^{\"tg\"(x)} - 1}{x^3}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\lim_{x \to 0} \frac{(\cos(x))^{"tg"(x)} - 1}{x^3}$

 


Ricordando le proprietà dei logaritmi, e con un po' di passaggi algebrici, il limite si può scrivere in questa forma

 

 

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\ln(\cos(x))^{"tg"(x)}} - 1}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"(x) \ln(\cos(x))} - 1}{"tg"(x) \ln(\cos(x))} \cdot \frac{"tg"(x) \ln(\cos(x))}{x^3} = $

 

$ = \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"(x) \ln(\cos(x))} - 1}{"tg"(x) \ln(\cos(x))} \cdot \frac{"tg"(x)}{x} \cdot \frac{\ln[1 + (\cos(x) -1)]}{x^2} = $

 

$ =  \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"(x) \ln(\cos(x))} - 1}{"tg"(x) \ln(\cos(x))} \cdot \frac{"tg"(x)}{x} \cdot \frac{\ln[1 + (\cos(x) -1)]}{\cos(x) - 1} \cdot \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \cdot \frac{\cos(x) + 1}{\cos(x) + 1} = $

 

$=  \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"(x) \ln(\cos(x))} - 1}{"tg"(x) \ln(\cos(x))} \cdot \frac{"tg"(x)}{x} \cdot \frac{\ln[1 + (\cos(x) -1)]}{\cos(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x) - 1}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos(x) + 1} = $

 

 $=  \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"(x) \ln(\cos(x))} - 1}{"tg"(x) \ln(\cos(x))} \cdot \frac{"tg"(x)}{x} \cdot \frac{\ln[1 + (\cos(x) -1)]}{\cos(x) - 1} \cdot \frac{-\sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos(x) + 1} = $

 

$=  \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"(x) \ln(\cos(x))} - 1}{"tg"(x) \ln(\cos(x))} \cdot \frac{"tg"(x)}{x} \cdot \frac{\ln[1 + (\cos(x) -1)]}{\cos(x) - 1} \cdot (\frac{\sin(x)}{x})^2 \cdot \frac{-1}{\cos(x) + 1} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

 

dove all'ultimo passaggio sono stati usati i seguenti limiti notevoli

 

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$

 

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1$

 

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t}  = 1$

 

$\lim_{t \to 0} \frac{"tg"(t)}{t} =1$

 

FINE