Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 1845
  • Data: 01/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Limite $\\lim_{x \\to +\\infty} x[(1 + \\frac{\\ln(10)}{x})^x - 10]$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\lim_{x \to +\infty} x[(1 + \frac{\ln(10)}{x})^x - 10]$

 


Considerando che

 

$\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x = e^{\ln(10)} = 10$

 

si nota che il limite si presenta sotto la forma $\infty \cdot 0$. Mettendo in evidenza un $10$, e ricordando le proprietà dei logaritmi, si ottiene

 

$\lim_{x \to +\infty} 10x (e^{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} - 1) = \lim_{x \to +\infty} 10x \frac{e^{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} - 1}{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} \ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x] =$

 

$ = \lim_{x \to +\infty} (10x \cdot \ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x])  \frac{e^{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} - 1}{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} =$

 

$ = 10 \lim_{x \to +\infty} x (\ln(\frac{1}{10}) + x \ln(1 + \frac{\ln(10)}{x})) \cdot \frac{e^{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} - 1}{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]}$

 

Ricordando il limite notevole

 

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$

 

si nota che

 

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} - 1}{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} = 1$

 

Ora conviene calcolare

 

$\lim_{x \to +\infty} x(\ln(\frac{1}{10}) + x \ln(1 + \frac{\ln(10)}{x}))$

 

usando il teorema di de l'Hopital.

 

$\lim_{x \to +\infty} x(\ln(\frac{1}{10}) + x \ln(1 + \frac{\ln(10)}{x})) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(\frac{1}{10}) + x \ln(1 + \frac{\ln(10)}{x})}{\frac{1}{x}} =$

 

$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + \frac{\ln(10)}{x}) + x \cdot \frac{x}{x + \ln(10)} \cdot (\frac{-\ln(10)}{x})}{-\frac{1}{x^2}} =$

 

$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + \frac{\ln(10)}{x}) - \frac{\ln(10)}{x + \ln(10)}}{-\frac{1}{x^2}} =$

 

$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x + \ln(10)} (-\frac{\ln(10)}{x^2}) + \frac{\ln(10)}{(x + \ln(10))^2}}{\frac{2}{x^3}} =$

 

$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-x\ln(10) - \ln^2(10) + x \ln(10)}{x(x + \ln(10))^2}}{\frac{2}{x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\ln^2(10)}{x^3 (1 + \frac{\ln(10)}{x})^2} \cdot \frac{x^3}{2} = -\frac{\ln^2(10)}{2}$

 

Pertanto il limite proposto vale

 

$10 \lim_{x \to +\infty} x (\ln(\frac{1}{10}) + x \ln(1 + \frac{\ln(10)}{x})) \cdot \frac{e^{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} - 1}{\ln[\frac{1}{10} (1 + \frac{\ln(10)}{x})^x]} = 10 \cdot \frac{-\ln^2(10)}{2} \cdot 1 = -5 \ln^2(10)$

 

FINE