Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 4169
  • Data: 19/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Limite $lim_(xto 0) (sin2x+sinx+tanx)/(1-cos^3x)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si calcoli il limite seguente

$lim_(xto 0) (sin2x+sinx+tanx)/(1-cos^3x)$

sapendo che $x$ tende a zero da destra.


Sostituendo direttamente $x=0$ otteniamo una forma indeterminata

$0/0$

Riscriviamo la funzione in modo più conveniente

$(sin2x+sinx+tanx)/(1-cos^3x)=(2sinxcosx+sinx+(sinx/(cosx)))/((1-cosx)(1+cos^2x+cosx)$

A questo punto raccogliamo al numeratore $sinx$

$(sinx)(2cosx+1+(1/(cosx)))/((1-cosx)(1+cos^2x+cosx)$

"Separando" opportunamente le parentesi in questo modo

$(sinx)/(1-cosx)*(2cosx+1+(1/(cosx)))/(1+cos^2x+cosx)$

Possiamo fare le opportune osservazioni.

La prima frazione, a cosa tende?

In realtà

$(sinx)/(1-cosx)=cot(x/2)$ quindi con $xto 0$ il valore della cotangente tende a infinito.

Per quanto riguarda la seconda frazione, vediamo che anche essa tende a un valore numerico.

Infatti il denominatore tende a 3, operando la sostituzione, e il numeratore tende a 4.

 

Concludiamo quindi che l'intera espressione tende a infinito.

FINE