Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
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  • Data: 03/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Limite $lim_(xto 0)(logx-logtanx)/(1+x)^(1/x)$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si trovi il seguente limite

$lim_(xto 0)(logx-logtanx)/(1+x)^(1/x)$

Osserviamo separatamente numeratore e denominatore.

Il numeratore

$logx-logtanx$ può essere riscritto in questo modo

$log(x/tanx)$ in virtù della nota proprietà del logaritmo.

Il valore di x tende a zero, quindi l'argomento del logaritmo tende a uno, infatti

$x/(tanx)=cosx*x/(sinx)=1*1$ sfruttando il limite notevole del rapporto tra arco e seno con argomento che va a zero.

Pertanto, un logaritmo avente argomento che tende a 1, tende di per sè a zero

(infatti $log1=0$).

Abbiamo concluso che il numeratore tende a zero.

Il denominatore

$(1+x)^(1/x)$

può essere trattato più agevolmente se poniamo

$t=1/x$ con $t->oo$ dal momento che $x->0$

ottenendo

$(1+1/t)^t$

E' facilmente riconoscibile il limite notevole, perciò possiamo dire senza problemi che il denominatore tende a $e$

Pertanto, la forma finale è

$0/e$

ovvero

$0$

FINE