Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 2219
  • Data: 27/09/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Limite $lim_(xto oo) (1+1/(alphax))^x=$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 3} 

Si calcoli 

$lim_(xto +oo) (1+1/(2x))^x$


Osservando il limite, non possiamo non pensare al classico limite notevole

$lim_(xto +oo) (1+1/x)^x=e$

Il limite può essere applicato solo se il coefficiente della $x$ al denominatore e della $x$ all'esponente è uguale, quindi solo se abbiamo

$lim_(xto +oo) (1+1/x)^x$

$lim_(xto +oo) (1+1/(2x))^(2x)$

$lim_(xto +oo) (1+1/(3x))^(3x)$

eccetera.

Per risolvere il limite proposto, dobbiamo quindi fare in modo che il termine al denominatore della frazione e l'esponente siano uguali.

Per fare ciò, eleviamo l'espressione tutta all'esponente $2/2$ (senza problemi, dato che $2/2=1$).

$lim_(xto +oo) (1+1/(2x))^x=lim_(xto oo) (1+1/(2x))^(x*2/2)=lim_(xto oo) (1+1/(2x))^(2x*1/2)=lim_(xto oo) ((1+1/(2x))^(2x))^(1/2)$

Abbiamo utilizzato note proprietà delle potenze.

A questo punto poniamo

$2x=t$ sapendo che anche $t$ tende a infinito.

$lim_(t-> +oo) [(1+1/t)^t]^(1/2)$

Riconosciamo subito il limite notevole, quindi

$lim_(t-> +oo) [(1+1/t)^t]^(1/2)=e^(1/2)$

Possiamo generalizzare facilmente, immaginando che al posto di $2$ ci sia un numero $alpha$ qualsiasi ma diverso da $0$.

$lim_(xto +oo) (1+1/(alphax))^x=e^(1/alpha)$

Lo svolgimento lo lasciamo al lettore, che deve ragionare come prima, quinid moltiplicando al momento opportuno l'esponente per $alpha/alpha$.