Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 1963
  • Data: 30/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Limite $lim_(xto pi/2){[cos(x/2)-sin(x/2)]*tanx}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva il seguente limite

$lim_(xto pi/2){[cos(x/2)-sin(x/2)]*tanx}$

La forma è chiaramente indeterminata.

Per valori di $x$ che tendono a $pi/2$, il valore di $tanx$ va all'infinito, mentre la parentesi tonda tende a $0$.

Per verificarlo basta sostituire i valori.

Volendo trovare il limite, dobbiamo scriverlo di modo che non ci imbattiamo in una forma indeterminata.

Procediamo

$[cos(x/2)-sin(x/2)]*tanx=[cos(x/2)-sin(x/2)]*sinx/cosx$

Portando tutto ad argomento $x/2$

$[cos(x/2)-sin(x/2)]*sinx/cosx=[cos(x/2)-sin(x/2)]*(2sin(x/2)cos(x/2))/(cos^2(x/2)-sin^2(x/2))=$

$=[cos(x/2)-sin(x/2)]*(2sin(x/2)cos(x/2))/((cos(x/2)-sin(x/2))*(sin(x/2)+cos(x/2))$

Semplificando numeratore e denominatore otteniamo

$(2sin(x/2)cos(x/2))/((sin(x/2)+cos(x/2))$

A questo punto possiamo procedere con la sostituzione del valore $pi/2$, ottenendo

$(2sin(pi/4)cos(pi/4))/(sin(pi/4)+cos(pi/4))=(2*1/sqrt2*1/sqrt2)/(1/sqrt2+1/sqrt2)=1/(2/sqrt2)=sqrt2/2$

Il limite è dunque $sqrt2/2$