Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 4811
  • Data: 21/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Limiti notevoli e teorema di de l\'Hopital $\\lim_{x \\to 0} \\frac{e - (1 + x)^{\\frac{1}{x}}}{x}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\lim_{x \to 0} \frac{e - (1 + x)^{\frac{1}{x}}}{x}$


Il limite proposto si presenta sotto la forma $\frac{0}{0}$. Dalla definizione di logaritmo $t = e^{\ln(t)}$ per ogni $t>0$, pertanto il limite si può riscrivere nel seguente modo

 

 

$\lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}}{x}$

 

Raccogliendo al numeratore un fattore $-e$ si ottiene

 

$\lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{x}$

 

Moltiplicando e dividendo per $\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1$ si ottiene

 

$\lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{\ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} \cdot \frac{\ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1}{x} =$

$= \lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{\ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} \cdot \frac{\frac{1}{x} \ln(1 + x) - 1}{x} =$

$=\lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{\ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} \cdot \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2}$

 

Conviene calcolare

 

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2}$

 

utilizzando il teorema di de l'Hopital. Derivando a numeratore e denominatore si ottiene

 

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - x - 1}{2x(x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x(x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(x + 1)} = - \frac{1}{2}$

 

Ricordando il limite notevole

 

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$

 

e osservando che per $x \to 0$ risulta $\ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1 \to 0$, allora

 

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{\ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} = 1$

 

pertanto

 

$\lim_{x \to 0} (-e) \frac{e^{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}} - 1} - 1}{\ln(1 + x)^{\frac{1}{x}} - 1} \cdot \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2} = (-e) \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{e}{2}$

 

FINE