Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 3815
  • Data: 24/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Limiti sviluppo di Taylor $\\lim_{x \\to 0} \\frac{e^{\"tg\"^3(x)} - 1}{x (\\cos(x) - e^{x^2})}$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{x (\cos(x) - e^{x^2})}$

 


Il limite si può riscrivere in questa forma

 

 

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{"tg"^3(x)} \frac{"tg"^3(x)}{x} \frac{1}{\cos(x) - e^{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{"tg"^3(x)} \frac{"tg"^3(x)}{x^3} \frac{x^2}{\cos(x) - e^{x^2}}$

 

Ricordando gli sviluppi di Taylor del coseno e dell'esponenziale:

 

$e^{t} = 1 + t + \frac{t^2}{2} + o(t^2)$

 

$\cos(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^3)$

 

il limite diventa

 

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{"tg"^3(x)} \frac{"tg"^3(x)}{x^3} \frac{x^2}{1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3) - 1 - x^2 + o(x^3) } = $

$ =  \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{"tg"^3(x)} \frac{"tg"^3(x)}{x^3} \frac{x^2}{ - \frac{3}{2} x^2  + o(x^3) } = \lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{"tg"^3(x)} \frac{"tg"^3(x)}{x^3} \frac{1}{ - \frac{3}{2} + o(x)}$

 

Ricordando i limiti notevoli

 

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$

 

$\lim_{t \to 0} \frac{"tg"(t)}{t} = 1$

 

e osservando che per $x \to 0$ risulta $"tg"(x) \to 0$ e $o(x) \to 0$ si ottiene

 

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{"tg"^3(x)} - 1}{"tg"^3(x)} \frac{"tg"^3(x)}{x^3} \frac{1}{ - \frac{3}{2} + o(x)} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{2}{3}) = - \frac{2}{3}$

 

FINE