Esercizi sui Limiti

  • Materia: Esercizi sui Limiti
  • Visto: 2319
  • Data: 18/12/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Sono date le curve di equazione [..] Considerato il punto $A(1;0)$ e $O(0,0)$ calcolare il limite..

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Sono date le curve di equazione

$y=(x+1)/(2x-1)$ e

$y=(4x)/(1-2x)$

Indicare con $P$ e $Q$ i punti in cui la retta $x=h$ con $h>1/2$ interseca rispettivamente le curve.

Considerato il punto $A(1;0)$ e $O(0,0)$ si traccino i triangoli $stackrel(Delta){PAO}$ e $stackrel(Delta){QAO}$

Calcolare il limite del rapporto delle due aree con $h->+infty$


Iniziamo con il trovare le coordinate di tutti i punti.

Sia $r : x=h$ con $h \in \mathbb{R}$ e $h > 1/2$: con questa condizione si ha che l'intersezione con la curva di equazione $y=(x+1)/(2x-1)$ è nel primo quadrante e l'intersezione con la curva di equazione $y=(4x)/(1-2x)$ è nel quarto quadrante.

Consideriamo anche l'intersezione della retta $x=h$ e l'asse delle ascisse: questa la chiameremo $K(h,0)$

Sia $P \equiv (h;(h+1)/(2h-1))$ e $Q \equiv (h; (4h)/(1-2h))$.

La retta $r$ è ortogonale all'asse delle ascisse, quindi il possiamo dire che il triangolo $stackrel(Delta){PAO}$ ha $OA$ come base, e $\bar{PK}$ l'altezza relativa.

Sapendo che l'area è espressa come il semiprodotto della base per l'altezza, si ha che

$\mathcal{A}_{POA}=\bar{OA}*\bar{PK}*1/2=1*(h+1)/(2h-1)*1/2=(h+1)/(2(2h-1))$.

Nel triangolo $stackrel(Delta){QOA}$ preso $OA$ come base, $QK$ ne è l'altezza relativa: si ha che

$mathcal{A}_{QOA}=\bar{OA}*\bar{QK}*1/2=1*|(4h)/(1-2h)|*1/2=(4h)/(2(2h-1))$

ove il modulo è giustificato da quanto prima detto a proposito della posizione dei punti intersezione.

A questo punto il limite richiesto è il seguente:

$lim_{h to +oo}(\mathcal{A}_{POA})/(mathcal{A}_{QOA})=lim_{h to +oo}( \ \ (h+1)/(2(2h-1)) \ \ )/( \ \ (4h)/(2(2h-1)) \ \ )=lim_{h to +oo}frac{h+1}{4h}=[\frac{+oo}{+oo}]$

La forma è indeterminata, ma trascurando l'uno al numeratore, si ottiene

$lim_{h to +oo}frac{1}{4}=frac{1}{4}$

FINE