Filosofia

  • Materia: Filosofia
  • Visto: 9469
  • Data: 2004
  • Di: Redazione StudentVille.it

Cartesio: algebra e geometria

La differenza tra le due discipline nella filosofia cartesiana.

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Algebra e geometria Premesso che unire due discipline come algebra e geometria significa far corrispondere ogni espressione dell'algebra ad una della geometria e viceversa, si osserva che l'algebra è espressa da certe operazioni sui simboli, mentre la geometria è espressa da certe regole grafiche che riguardano i punti della retta, del piano e dello spazio, e la loro interdipendeza fu stabilita da Cartesio considerandole mezzi espressivi di una più profonda proprietà della realtà misurabile che le inglobasse, cosa che egli fece definendo il concetto di funzione come il risultato di certe operazioni, che potevano essere fatte sia per via geometica che algebrica , (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a potenza e radice per i soli numeri positivi) che, operando su un numero lo sostituiscono con un altro. E' grande merito di Cartesio l' avere intuito che le radici più profonde della matematica e della geometria vadano ricercate nella logica e nella filosofia, e di avere posto, nell'unire le due discipline, le basi necessarie allo sviluppo ulteriore delle matematiche. In questo capitolo supponiamo che a quell'epoca fossero note come idee innate, (esistenti nella mente per opera divina), quella di numero e quella delle operazioni sopra elencate e definite da precise regole compresa quella dei segni nella moltiplicazione dei numeri positivi, ma con la matematica del suo tempo Cartesio ha dovuto scrivere due libri dal contenuto molto difficile da studiare, per dimostrare che Algebra e Geometria potevano essere inglobate in una unica branca della matematica. Anche Fermat riteneva di difficile comprensione tutte quelle operazioni con rette che si sommavano, si moltiplicavano, si sottraevano e si dividevano come faceva Cartesio nelle sue opere, ma anche lui trovò, senza darne talora neanche traccia di dimostrazione, meravigliosi teoremi sulla teoria dei numeri. Per sintetizzare l'opera del grande filosofo-matematico supponiamo che nel suo pensiero un numero fosse rappresentato da un simbolo graficamente distinguibile dal simbolo di ogni altro numero e dalla cui forma grafica si potesse univocamente stabilire se esso fosse maggiore (>) o minore (<) di un secondo numero presentato allo stesso modo. Ogni numero poi è uguale (=) a se stesso, e noi useremo la consueta notazione decimale dei segni dallo 0 al 9 per formare i numeri, ed i simboli della aritmetica e dell'algebra per le operazioni. Il modo più semplice di rappresentare i numeri è quello di disporli in ordine crescente su una retta, anzi nel piano cartesiano a tutti noto i numeri vengono presentati su due assi ortogonali di ascisse x e di ordinate y sul quale ogni punto è individuato dalle sue coordinate x, y e questa sarà la presentazione geometrica di un punto nel piano, mentre la sua presentazione algebrica è data dalla coppia ordinata dei valori delle sue coordinate. Dati due punti nel piano diciamo distanza la più breve lunghezza geometrica di una linea continua che li unisca, intuitivamente rappresentata da un filo teso tra i due punti e che diremo segmento di retta, e supporremo che all'epoca di Cartesio anche questo fosse considerata una idea innata, ma noi torneremo a parlarne in relazione alla sua rappresentazione algebrica equivalente a mezzo delle coordinate dei punti e del teorema di Pitagora. Data una raccolta finita di punti ciascuno di coordinate x,y potremo rappresentarli geometricamente nel piano ordinandoli secondo la x , definendo l' istogramma della raccolta e che viene meglio evidenziato unendo con dei tratti di retta i punti successivi, e questa sarà la presentazione geometrica di un istogramma, ma lo stesso istogramma può essere rappresentato algebricamente da una tabella in due righe.sulla prima delle quali si pongano in ordine crescente i valori delle x dei punti che lo formano, che diremo punto di definizione o punto di rilevamento, mentre sull'altra, in genere sottostante, vengono riportati i valori delle y corrispondent (segue nel file da scaricare)

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