Fisica

  • Materia: Fisica
  • Visto: 5162
  • Data: 16/08/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

Moto circolare con attrito [richiesta EQUAZIONE DIFFERENZIALE]

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 4} 

Si consideri una perlina di massa $m$ libera di muoversi su un filo rigido sottile circolare di raggio $r$.
La perlina riceve una velocità iniziale $V_0$ e il coefficiente di attrito dinamico tra il filo e la perlina è $μ$.
L'esperienza viene eseguita in un veicolo spaziale alla deriva nello spazio (c'è dunque assenza di gravità).

Dimostrare che la velocità della pallina in funzione del tempo è
$v(t)=(v_0r)/(r+muv_0t)$




Calcoliamo la forza d'attrito.
La forza centripeta è:

$F_c=mv^2/r$

La forza di attrito è perciò:

$F_a=mu*F_c=mu*m*v^2/r$

L'accelerazione della pallina è dunque, semplificando la massa:

$a=-mu*v^2/r$ ovvero  $(dv)/dt=-mu*v^2/r$

Questa equazione differenziale si può risolvere seeparando le variabili
Si ottiene:

$(dv)/v^2=-mudt/r$

Integrando entrambi i membri si ha:

$int_(v_0)^v(dv)/v^2=-mu/rint_0^tdt$

Sono due integrali facili, abbiamo subito
$-1/v+1/v_0=mu/r*t$
Esplicitando rispetto a $v$, otteniamo facilmente la relazione del testo.
$v=(v_0r)/(r+muv_0t)$

FINE