Spazio, velocità e accelerazione in funzione del tempo [richiesta EQ.DIFFERENZIALE]

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Spazio, velocità e accelerazione in funzione del tempo [richiesta EQ.DIFFERENZIALE]

Materia: Fisica Visualizzato: 4992 volte Scaricato: 0 volte Data: 16/08/2008

Spazio, velocità e accelerazione in funzione del tempo [richiesta EQ.DIFFERENZIALE]

Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 4}

Un corpo si muove di moto rettilineo con velocità proporzionale alla radice quadrata dello spazio percorso.
Dimostrare che il corpo si muove sotto l'effetto di una forza costante.
Scrivere poi le relazioni che legano prima lo spazio, poi la velocità, al tempo.

L'ipotesi del problema ci dice che
$v=ksqrtx$
dove $k$ è una costante di proporzionalità.
Ma d'altra parte la velocità è la derivata prima dello spazio, dunque da quella relazione abbiamo l'equazione differenziale:
$dx/dt=ksqrtx$
facilmente risolvibile con più di un metodo.
Separando le variabili, ad esempio, otteniamo:
$dx/sqrtx=k*dt$
Integrando si ha:
$2sqrtx=kt$
ovvero
$x(t)=(k^2t^2)/4$

Derivando, otteniamo
$v(t)=dx/dt=(k^2t)/2$
e derivando ancora
$a=(dv)/dt=k^2/2$.

E' chiaro che l'accelerazione è costante, pertanto la forza cui il corpo è sottoposto dovrà ugualmente essere costante.

FINE