Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 27/10/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Deteminare per quali valori del parametro $m$ la retta $y=x+m$ stacca sulla circonferenza...

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Deteminare per quali valori del parametro $m$ la retta $y=x+m$ stacca sulla circonferenza

$x^2+y^2-2x+4y-4=0$ una corda la cui lunghezza è $3sqrt2$


 

Per trovare le intersezioni è necessario risolvere il sistema

${(y=x+m),(x^2+y^2-2x+4y-4=0):}$

Sostituiamo $y=x+m$ nell'equazione della circonferenza ottenendo:

$x^2+(x+m)^2-2x+4(x+m)-4=0$

da cui

$2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$

 

Ora affinchè ci siano due punti in comune tra la retta $y=x+m$ e la circonferenza si dovrà avere che il determinante dell'equazione $2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$ sia maggiore di zero, cioè:

$(m+1)^2-2(m^2+4m-4)>0$ cioè $m^2+6m-9<0$ cioè $-3(1+sqrt(2))<m<3(sqrt(2)-1)$.

Mostreremo che le soluzioni che troveremo in seguito rispettano questa condizione.

 

Ricaviamo ora le ascisse dei due punti dall'equazione

$2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$. Troviamo:

$x_1=(-(m+1)+sqrt(9-m^2-6m))/2$ e

$x2=(-(m+1)-sqrt(9-m^2-6m))/2$

da cui

$y_1=[(m-1)+sqrt(9-m^2-6m)]/2$ e

$y_2=[(m-1)-sqrt(9-m^2-6m)]/2$

 

Calcoliamo ora la distanza al quadrato:

$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=[sqrt(9-m^2-6m)]^2+[sqrt(9-m^2-6m)]^2=2*(9-m^2-6m)$

Imponendo che

$d^2=(3sqrt(2))^2=18$ si trova:

$18-2(m^2+6m)=18$ da cui $(m^2+6m)=0$ e cioè $m=0 U m=-6$ e sono valori entrambi accettabili perchè rispettano la condizione su $m$.

 

Prova 1:

$m=0 ->y=x$ che intersecata con la circonferenza dà:

$x_1=1$ e $y_1=1$

$x_2=-2$ e $y2=-2$ ed è facile vedere che la distanza è $3sqrt2$

 

Prova 2:

$m=-6->y=x-6$ che intersecata con la circonferenza dà:

$x_1=4$ e $y1=-2$,

$x_2=1$ e $y_2=-5$ e anche in tal caso è facile constatare che la distanza è $3sqrt2$