Determinare $a$ e $b$ in modo che l\'iperbole di equazione $(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$ passi

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Determinare $a$ e $b$ in modo che l\'iperbole di equazione $(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$ passi

Materia: Geometria analitica Visualizzato: 5138 volte Scaricato: 0 volte Data: 17/12/2009

Determinare $a$ e $b$ in modo che l\'iperbole di equazione $(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$ passi

Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Determinare $a$ e $b$ in modo che l'iperbole di equazione $(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$ passi
per i punti $A(-4sqrt(10);9), B(8;-3sqrt3)$.

Svolgimento
Dobbiamo verificare per quali valori di $a$ e $b$, idue punti appartengono all'iperbole
$\gamma:=(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1$
Se $A in \gamma => (-4sqrt(10))^2/(a^2)-(9)^2/(b^2)=1 => (160)/(a^2)-(81)/(b^2)=1$
Se $B in \gamma => (8)^2/(a^2)-(-3sqrt3)^2/(b^2)=1 => (64)/(a^2)-(27)/(b^2)=1$

Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione
$\{((160)/(a^2)-(81)/(b^2)=1),((64)/(a^2)-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{((160)/(a^2)=(81)/(b^2)+1),((64)/(a^2)-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),((64)((81)/(b^2)+1)/(160)-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),(2((81)/(b^2)+1)/5-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),(2((81)/(b^2)+1)*1/5-(27)/(b^2)=1):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),((162)/(5b^2)-(27)/(b^2)=1-2/5):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),(((162)/5-27)(b^2)=3/5):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160)),((27)/5b^2=3/5):}$;
$\{(1/(a^2)=((81)/9+1)/(160)),(b^2=9):}$;
$\{(1/(a^2)=(10)/(160)=1/(16)),(b^2=9):} => \{(a^2=16),(b^2=9):}$.
Pertanto $a=4$ e $b=3$.