Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Determinare i punti d\'intersezione tra le circonferenze di equazione $x^2+y^2-8x-6y+20=0$ e $2x^2+2y

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Determinare i punti d'intersezione tra le circonferenze di equazione $x^2+y^2-8x-6y+20=0$ e $2x^2+2y^2-11x+3y=0$.


Svolgimento
In generale per trovare eventuali punti d'intersezione tra due circonferenze, si mettono a sistema le due equazioni:

$\{(x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0),(x^2+y^2+(\alpha)_1x+(\beta)_1y+(\gamma)_1=0):}$;

Se le due circonferenze non sono concentriche, sottraendo membro a membro le due equazioni
si ottiene il sistema equivalente
$\{(x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0),((\alpha-(\alpha)_1)x+(\beta-(\beta)_1)y+\gamma-(\gamma)_1=0):}$;
Nel nostro caso si ha
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(2x^2+2y^2-11x+3y=0):}$;
Per fare in modo che i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ siano unitari possiamo dividere la seconda equazione per $2$.
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(x^2+y^2-(11)/2x+3/2y=0):}$;
Le due circonferenze non sono concentriche, sottraendo membro a membro le due equazioni
si ottiene il sistema equivalente:
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),((-8+(11)/2)x+(-6-3/2)y+20=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(((-16+11)/2)x+((-12-3)/2)y+20=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(-5/2x-(15)/2y+20=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(-5x-15y+40=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(-x-3y+8=0):}$;
$\{(x^2+y^2-8x-6y+20=0),(x=8-3y):}$;
$\{((8-3y)^2+y^2-8(8-3y)-6y+20=0),(x=8-3y):}$;
$\{(64+9y^2-48y+y^2-64+24y-6y+20=0),(x=8-3y):}$;
$\{(10y^2-30y+20=0),(x=8-3y):}$;
$\{(y^2-3y+2=0),(x=8-3y):}$;
Risolviamo l'equazione di secondo grado
$y^2-3y+2=0$

$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-(4*(2)*1)=9-8=1$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(3+-sqrt1)/2=(3+-1)/2 => y_1=2 ^^ y_2=1$.

Pertanto $\{(y_1=2),(x_1=8-3*2=2):} vv \{(y_2=1),(x_2=8-3*1=5):}$;
Quindi i punti d'intersezione tra le due circonferenze saranno $A(2;2)$ e $B(5;1)$.