Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
$x^2+y^2+6x-6y=0$



Svolgimento
l'equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sviluppandola si ha:
$x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2$
ponendo $-2x_0=\alpha$, $-2y_0=\beta$ e $x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma$ si ha
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$
che rappressenta l'equazione normale o canonica della circonferenza.
Il centro $C$ della circonferenza rappresentata dall'equazione canonica si ricava dalle due relazioni:

$\{(-2x_0=\alpha),(-2y_0=\beta):} => \{(x_0=-(\alpha)/2),(y_0=-(\beta)/2):}$;

Quindi $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$.
La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione
$r^2=x_0^2+y_0^2-\gamma => r^2=(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma => r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$.
Prendiamo in considerazione la nostra equazione
$x^2+y^2+6x-6y=0$
Consideriamo l'equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro $C(x_0;y_0)$ si ha:
$\alpha=6, \beta=-6, \gamma=0$.
Pertanto, essendo $C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)$, otteniamo
$C(-3;3)$
ed essendo $r=sqrt((-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma)$ si ha
$r=sqrt((-3)^2+(3)^2-0)=sqrt(9+9)=sqrt(18)=3sqrt2$.