Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
  • Visto: 4046
  • Data: 03/10/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

Fascio di parabole e luogo del punto medio

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 3} 

La parabola $C_1$ di equazione $y = 1/2x^2+bx+c$ incontra la parabola $C_2$ di equazione $y=x^2+2x$ nel suo vertice $V_2$
e in un ulteriore punto P; scrivere l’equazione del luogo descritto dal punto medio M del segmento $V_2P$ e giustificare che il luogo ammette come asse di simmetria la retta $x= -1$




Il vertice di $C_2$ è $V_2(-1,-1)$, il punto $P$, appartenendo a $C_2$, avrà coordinate $(t,t^2+2t)$.
Il punto medio del semgmento $V_2P$ è $M((t-1)/2,(t^2+2t-1)/2)$.
Da cui ci ricaviamo il luogo:

${(x=(t-1)/2),(y=(t^2+2t-1)/2):}$

Ora applichiamo il metodo di eliminazione del parametro ricavando $t$ dalla prima equazione e sostituendola nella seconda:

${(t=2x+1),(y=2x^2+4x+1):}$

$y=2x^2+4x+1$ è il luogo cercato.
Essendo una parabola, ha asse di simmetria $y=-(b)/(2a)=-1$.

P.S. Dal momento che il luogo è descritto dal punto medio, la parabola C1 non è unica. Se cosi fosse il luogo si ridurrebbe al solo punto medio del segmento $V_2P$. Esistono invece infinite parabole C1 aventi intersezioni $V_2$ e $P$ con C2.
$V_2$ resta ovviamente fisso, $P$ varia e al variare di $P$ il punto medio $M$ si sposta, descrivendo il luogo voluto.

 

FINE