Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 14/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Fascio di rette, problema$(k+2)x+(3-k)y+k+1=0$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

E' dato il fascio di rette di equazione

$(k+2)x+(3-k)y+k+1=0$

Determinare:

1)La natura del fascio

2) I valore del parametro della retta che intersecando gli assi forma un triangolo di superficie 1.


1)

Vediamo se il fascio è proprio, osservando il coefficiente angolare

$-a/b=-(k+2)/(3-k)=(k+2)/(k-3)$ Il fascio è proprio in quanto al variare di k varia il coefficiente angolare.

Per trovare le rette generatrici svolgiamo le parentesi e raccogliamo k

$kx+2x+3y-ky+k+1=0$

$2x+3y+1+k(x-y+1)=0$

Quindi

$2x+3y+1=0$ se $k=0$

$x-y+1=0->k=oo$ (retta critica)

Intersecando le rette generatrici, otteniamo il centro del fascio.

Si può procedere anche ponendo $k$ i modo tale che il fascio "perda" un termine tra $x$ e $y$, ad esempio avendo

$(k+2)x+(3-k)y+k+1=0$

poniamo $k=3$ ottenendo

$(3+2)x++0+3+1=0$ e questa retta è quella verticolare del fascio.

Ponendo poi $k=-2$ si ottiene quella orizzontale, e possiamo intersecare le due per trovare il centro.

2)

Chiamiamo A il punto di intersezione con l'asse x e B quello con l'asse y. O è l'origine.

Il triangolo $stackrel(Delta)(AOB)$ è rettangolo, pertanto l'area è espressa come semipordotto dei cateti, che sono $\bar{AO}$ e $\bar{BO}$

$(AO*BO)/2=1/2$ (1)

Troviamo ora il modo di esprimere i due lati.

Intersecando il fascio con l'asse x, troviamo l'ascissa del punto A, che dipenderà da k

${( (k+2) x + (3-k) y + k + 1 = 0), ( y = 0) :}$

 

ottenendo

$x=-(k+1)/(k+2)=AO$

Facendo altrettanto con l'asse x, ottengo

${((k+2)x+(3-k)y+k+1=0),(x=0):}$

$y=-(k+1)/(3-k)=BO$

Quindi, ricordando l'equazione (1) avremo

$(-(k+1)/(k+2))*(-(k+1)/(3-k))=2$

semplice equazione che restituisce due valori

$k=sqrt(11/3)$
e $k=-sqrt(11/3)$

FINE