Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Il triangolo $\\hat{ABC}$ ha per vertici $A(1;3); B(1/2;3/2); C(2;1)$.Verificare che l triangolo è is

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Il triangolo $\hat{ABC}$ ha per vertici $A(1;3); B(1/2;3/2); C(2;1)$.Verificare che l triangolo è isoscele
e determinre le misure del perimetro e dell'aria.



Svolgimento

Per perimetro si intende la somma dei segmenti $\bar(AB), \bar(BC), \bar(AC)$.
Quindi calcoliamo le misure dei seguenti segmenti:
$\bar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((1/2-1)^2+(3/2-3)^2)=sqrt((-1/2)^2+((3-6)/2)^2)=sqrt(1/4+(-3/2)^2)=$
$=sqrt(1/4+9/4)=sqrt((10)/4)=1/2sqrt(10)$
$\bar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((2-1)^2+(1-3)^2)=sqrt(1+4)=sqrt5$
$\bar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((2-1/2)^2+(1-3/2)^2)=sqrt(((4-1)/2)^2+((2-3)/2)^2)=$
$=sqrt((3/2)^2+(-1/2)^2)=sqrt(9/4+1/4)=sqrt((10)/4)=1/2sqrt(10)$

Pertanto $2p=\bar(AB)+\bar(BC)+\bar(AC)=sqrt5+1/2sqrt(10)+1/2sqrt(10)=sqrt5+sqrt(10)=sqrt5(sqrt2+1)$.

Inoltre possiamo ire che il triangolo $\hat{ABC}$ è isoscele, poichè $\bar{AB}=\bar{BC}$.
Pertanto $\bar{AC}$ sarà la base del triangolo.
Lìarea del riangolo è data dalla formula: $A=(b*h)/2$.
Dobbiamo calcolare l'altezza, cioè il segmento avente come uno dei vertici il punto $B$
e come secondo vertice il punto medio del segmento $\bar{AC}$.
Calcoliamo il punto medio, che indicheremo con $M$, del segmento $\bar{AC}$.
cap_1n_16.jpg

Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
In formule
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Nel nostro caso, si ha:
$x_M=(1+2)/2=3/2 ^^ y_M=(3+1)/2=2$.
Quindi il punto medio sarà $M(3/2;2)$.

Calcoliamo quindi la misura del segmento $\bar{BM}$

$\bar(BM)=sqrt((x_M-x_2)^2+(y_M-y_2)^2)=sqrt((3/2-1/2)^2+(2-3/2)^2)=sqrt((2)^2+((4-3)/2)^2)=$
$=sqrt(4+1/4)=sqrt((4+1)/4)=sqrt(5/4)=1/2sqrt5$.
Pertanto
$A=(b*h)/2=((\bar{AC})*(\bar{BM}))/2=(sqrt5*1/2sqrt5)/2=5/4=1,25$.